Sección cónica

Se denomina sección cónica o curva cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.

Circunferencia:

La circunferencia es una curva plana y cerrada donde todos sus puntos están a igual distancia del centro.

n un sistema de coordenadas cartisianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (a, b) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación.

${\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\,}$.

Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica a

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}\,}$.

La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia goniométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.

De la ecuación general de una circunferencia se deduce que:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0\,}$

resultando:

${\displaystyle a=-{\frac {D}{2}}}$

${\displaystyle b=-{\frac {E}{2}}}$

${\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}-F}}}$

Elipse:

 

Una elipse es la curva cerrada con dos ejes de simetría que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado. La elipse es también la imagen afín de una circunferencia.

La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

 Parábola:

es la sección conica excentricidad igual a 1,​ resultante de cortar un cono recto con un plano cartesiano cuyo ángulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono sea igual al presentado por su generatriz. El plano resultará por lo tanto paralelo a dicha recta.

Hipérbola:

es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida cortando un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría, y con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.

Ecuaciones en coordenadas cartesianas: Ecuación de una hipérbola con centro en el origen de coordenadas ${\displaystyle (0,0)\,}$ y ecuación de la hipérbola en su forma canónica.

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ 

Ecuación de una hipérbola con centro en el punto ${\displaystyle (h,k)\,}$

${\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1}$